Émergence d'une nouvelle approche?

Un des apports fondamentaux de la théorie des options est de calculer le montant d'une prime qui doit être la même quelle que soit la position de l'investisseur par rapport au risque. En effet, dans le monde réel, les agents ont des attitudes différentes par rapport au risque : ils peuvent être avoir une aversion pour le risque ou au contraire un goût prononcé pour la prise de risque. Dans ce cas, le montant de la prime ne peut pas être la même; elle a une connotation subjective. En 1976, trois économistes (Cox, Ross et Rubistein) ont proposé une méthode d'évaluation dite "neutre au risque" afin de s'affranchir des différents états de la nature. Elle consiste à affirmer que la valeur d'un portefeuille répliquée et la valeur de l'option sont indépendantes des préférences de risque. Pour pouvoir affirmer cette proposition, ils sont partis de l'hypothèse que la couverture d'un actif sous-jacent (combinaison d'options et d'un portefeuille répliqué) rapporte un taux d'intérêt sans risque qui aura la même valeur quelles que soient les préférences de chacun. Ils ont utilisé pour cela une loi de probabilité, appelée loi binomiale.

Le processus binomial peut être facilement représenté par un arbre de décisions. A chaque étape, deux possibilités sont offertes pour la suite des événements : le succès ou l'échec.

Modèle binomial - Évolution de la valeur sous-jacente

Deux points sont fondamentaux pour la valeur de l'option : le temps et l'étendue des revenus potentiels, souvent nommée "cône de l'incertitude" et approchée par une courbe en forme de cloche. Ainsi, plus la distribution de revenus est importante - plus forte est la volatilité - plus la valeur de l'option est importante.

  Cône de l'incertitude           Distribution de probabilité

Ainsi, plus la distribution de revenus est importante - plus forte est la volatilité - plus la valeur de l'option est importante.

Si on applique l'approche "neutre au risque" au modèle binomial, on peut affirmer que la rentabilité anticipée de l'investissement de départ (actif sous-jacent dans le jargon technique) doit être au moins égal au taux d'intérêt sans risque (le taux servi sur les obligations de l'Etat français par exemple, appelé r). On suppose par ailleurs que la volatilité (c'est-à-dire les écarts entre la hausse et entre la baisse, appelés) est constante sur la période étudiée.

La rentabilité de l'investissement est constamment continue sur la période. On peut dire qu'elle est égale à :

Rentabilité espérée = e^r

avec, e pour la valeur exponentielle qui traduit la continuité de la valeur de l'investissement dans le temps, rémunéré au taux r.

En d'autres termes, on peut dire que la probabilité de valeur à la hausse ou de valeur à la baisse, en fonction de l'investissement de départ et de ses trajectoires, doit être égale à la rentabilité anticipée.

Équation (1)

avec,

I, l'investissement de départ;
e^r, la rentabilité espérée;
p (ou (1-p)), la probabilité de réalisation à la hausse (baisse);
h, le montant de hausse de l'investissement (succès);
b, le montant de baisse de l'investissement (échec).

 

Supposons que FT prévoit d'acheter dans 6 mois une des filiales multimédias de Press Organisation, Anniva, pour un montant de 120 M. de FRF. La société Anniva est soumise à une forte volatilité sur son marché car le secteur des nouveaux médias est très réactif. A titre indicatif, la volatilité de l'indice des valeurs du même secteur ressort à 20% mensuellement. FT veut se garantir contre une chute du prix du titre dans les 6 prochains mois. Ainsi, si la valeur du titre est inférieure à 103 M. de FRF dans 6 mois, FT sera dédommagé de la différence entre les 103 M. FRF et la valeur du titre au moment de l'acquisition dans 6 mois. Si inversement, la valeur est supérieure, la garantie expirera d'elle-même. Par conséquent, ce type de contrat est à la fois une combinaison d'une option d'achat pour FT avec un prix d'exercice de 103 et une option de vente pour Press Organisation avec un prix d'exercice de 103. Nous savons par ailleurs que le taux sans risque servi sur les obligations de l'Etat est de 6% et que la période de garantie est de 6 mois. De même, l'actif sous-jacent est la valeur de la société Anniva qui a un prix estimé de 100 M. FRF.

                               Prix d'acquisition : 120 M. FFR

 Contrat garanti de 103 M. FFR

QUESTION : quel est le montant de la prime (option de vente) que Press Organisation accepte de céder pour obtenir et garantir le contrat d'acquisition ?

Il nous est possible de calculer les paramètres manquant :

  h : la valeur de croissance de l'investissement (h pour hausse);
  b : la valeur de décroissance de l'investissement (b pour baisse). Par hypothèse on peut affirmer que l'investissement de départ à un mouvement symétrique à la hausse et à la baisse donné par : h = 1/b;
p : la probabilité neutre au risque.

Données connues : 
le temps: T = 6 mois;
la volatilité: = 20% par mois
l'actif sous jacent: I = 100 M.FRF

Données à calculer : h et b

Ainsi, le montant de la hausse (et de la baisse) peut être calculé par :

e = h = 1.22 (pour 2.71828 ^0.2)
b = 1/h = 0.82

Si on reprend l'équation (1), on peut extraire la valeur de p :

La probabilité neutre au risque de réalisation est d'environ 46%.

Selon l'approche optionnelle, les montants h et b ne sont pas calculés au hasard. Ils sont calculés à partir de la volatilité du secteur d'activité (ou de la volatilité historique du titre pour une action cotée si on dispose d'une base de données). Par contre, il y a 2 hypothèses implicites très fortes :

Actif sous-jacent : I = 100 M. FRF
La volatilité : = 20%
Le temps sur lequel porte l'option : T = 6 mois
Le taux sans risque : r = 6% (annuellement, soit 0.5% mensuellement)
La tendance haussière : h = 1.22
La tendance baissière : b = 0.82
La probabilité neutre au risque : p = 0.4625

Si on récapitule les valeurs pour T = 6 mois, on a le tableau suivant :

En fonction du montant des paramètres utilisés dans cet exemple, la valeur de l'investissement de 100 M. de FRF dans 6 mois sera compris entre 329.73 M de FRF et 30.38 M. FRF.

L'objectif du modèle binomial va être :

A la fin des 6 mois, FT achètera Anniva 120 M. FRF. La contrepartie en valeur boursière que recevra FT sera de Max[I₆, 103], avec I₆, la valeur de Anniva dans 6 mois. La règle de décision est d'obtenir un minimum de 103 M. (100 M. placé à 6% pendant 6 mois) comme garantie. La valeur de la garantie pour FT est de Max [103 - I_6; 0], Cette règle est appliquée seulement au terme des 6 mois.

Règle du 6^ème mois : Max [103 - I_6i; 0]

Soit : 103 - 329.73 = 0

103 - 221.53 = 0
103 - 148.84 = 0
103 - 100.00 = 3.00
103 - 67.24 = 35.76
103 - 45.20 = 57.80
103 - 30.38 = 72.62

La règle pour les mois précédents est la suivante :

[Max (103 - I₆; 0)_i+1 * p] + [Max (103 - I₆; 0)_i * (1-p)] /e^r

Sachant que p = 0.4625 et 1-p = 0.5376, pour le mois 5, on a :

[57.80p + 72.62(1-p)] / e^0.005 = 65.43
[35.76p + 57.80(1-p)] / e^0.005 = 47.37
[3.00p + 35.76(1-p)] / e^0.005 = 20.50
[0.00p + 3.00(1-p)] / e^0.005 = 1.60
[0.00p + 0.00(1-p)] / e^0.005 = 0.00
[0.00p + 0.00(1-p)] / e^0.005 = 0.00

Il en est de même pour les autres mois.

Comme les 120 M. de FRF ne seront versés que dans 6 mois, la valeur courante de la vente est la valeur présente des 120 M. FRF moins les 18.6 M. de FRF qui est le prix de la garantie du contrat (option de vente), soit 101.4 M. FRF.

Ce calcul pour obtenir l'option de vente a été réalisé à partir de probabilité non observée ou non désirée. Si on introduit la notion de subjectivité, on peut utiliser alors des probabilités qui tiennent compte par exemple du taux d'actualisation que l'on se fixe a priori et non plus du taux minimum.

Le taux sans risque utilisé : r = 6%

Le taux d'actualisation que l'on va utiliser : taux sans risque + une prime de risque : R = 6% + 9% = 15%.

La probabilité que l'on pense observer d'un mouvement haussier ou baissier est calculée à partir de ce taux d'actualisation ajustée du risque.

On obtient :

pour la hausse q = [2.71828 ^0.0125 - 0.82] / [1.22 - 0.82] = 0.4814
pour la baisse 1 - q = 0.5185

La probabilité actuelle observée d'un mouvement haussier est d'environ 48% alors que la probabilité neutre au risque ressortait à 46%.

L'approche par les Options Réelles a pour objectif de pouvoir justifier par rapport aux méthodes d'évaluation traditionnelle que des opportunités de croissance et d'investissement sont au rendez-vous dans un projet.
Si la méthode des Options Réelles a fait ses preuves notamment dans l'industrie pétrolière (due à l'existence d'un marché organisé du pétrole et donc possibilité de duplication), elle reste encore au stade de l'expérimentation pour l'ensemble des secteurs d'activités. Sa complexité (duplication, technicité mathématiques, repérage, etc.) et le nombre d'hypothèses sous-jacentes dans les modèles restent encore ses principaux obstacles à sa vulgarisation en corporate finance. De ce fait, les approches traditionnelles restent encore les plus utilisées par les analystes pour justifier une valeur même si on assiste actuellement à une montée en puissance de l'approche Options Réelles dans la e-économie.
L'approche par les Options Réelles peut s'appliquer également aux fusions-acquisitions, au risk management, à la gestion de projet, au capital budgeting, aux pratiques de rémunération par les stock-options mais surtout à toutes les opérations d'ingénierie financière de type LBO.